N個の銘柄で構成されるポートフォリオの基礎知識

ポートフォリオ理論を学ぶときにまず考えるのは、2銘柄で構成される簡単なポートフォリオです。しかし、実際はもっと複数の銘柄を組み合わせたポートフォリオを作ってリスクを分散させます。

今回は、N個の銘柄で構成されるポートフォリオを考えるときに使う知識についてまとめました。

N個証券のリターン 

N銘柄のリターンのベクトル r = (r1,r2,r3,,,,rN)
各銘柄への投資比率のベクトル w = (w1,w2,w3,,,,wN)

wT*r

N個からなるポートフォリオのリターンは、ウェイトのベクトルの転置行列とリターンのベクトルの内積です。

N個証券のリスク

N銘柄の全銘柄同士の共分散の行列

Σ = [     [σ11,,,,,,σ1N],     [,,,,,,,,],     [,,,,,,,,],     [,,,,,,,,],     [σN1,,,,,,σNN], ]

N列N行の行列ができます。 ウエイトの転置行列、分散共分散行列Σ、ウエイトの行列で内積を求めます。 分散共分散行列は「t時点におけるリターン – それぞれの銘柄の期待リターン」を偏差として、全部のパターンの共分散を求めます。

wT*Σ*w

2つのポートフォリオ同士の共分散

Σ = [     [σ11,,,,,,σ1N],     [,,,,,,,,],     [,,,,,,,,],     [,,,,,,,,],     [σN1,,,,,,σNN], ]

  • w1 = (w11,w12,w13,,,,w1N)
  • w2 = (w21,w22,w23,,,,w2N)

w1T*Σ*2w

ポートフォリオ1の投資比率をw1とし、ポートフォリオ2の投資比率をw2とすると、それらと分散共分散行列を使って2つのポートフォリオ間の共分散を求めることができます。

最後に

基本的に必要になる情報は、全銘柄の分散共分散行列、ポートフォリオの投資比率(ウェイト)です。これらを使えば、基本的にどんなに銘柄の数が増えても大丈夫です!